Probabilité cumulative

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Martí Micolau
@martimicolau
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La probabilité cumulative est un moyen de mesurer la probabilité qu'un événement aléatoire se soit déjà produit au moins une fois après un certain nombre d'essais, ou Rouleaux.

Contenu

  • 1 exemple motivant
  • 2 Fonction de probabilité cumulative
  • 3 exemples dans Genshin Impact
    • 3.1 Système de souhaits
      • 3.1.1 Intégration des taux de pitié
      • 3.1.2 Personnages de l'événement
        • 3.1.2.1 Personnage d'événement promotionnel 5 étoiles
        • 3.1.2.2 Personnage d'événement promotionnel 4 étoiles
          • 3.1.2.2.1 Tout personnage d'événement 4 étoiles
          • 3.1.2.2.2 Un événement particulier 4 étoiles Personnage
      • 3.1.3 Personnages Wanderlust
      • 3.1.4 armes d'événement
    • 3.2 Boss et domaines
  • 4 Propriétés de la fonction de probabilité cumulative
    • 4.1 Convergence indépendante du débit
    • 4.2 La chance et l'erreur du joueur
      • 4.2.1 Relation avec la monétisation
  • 5

Exemple motivant

Par exemple, après avoir lancé une fois un dé à 6 faces, la probabilité qu'un 6 soit apparu au moins une fois est maintenant , soit 16.66 %. Cependant, la probabilité après avoir roulé une deuxième fois est pas . Une bonne façon de comprendre cela est d'imaginer 100 joueurs chacun avec un dé à 6 faces. Après un lancer, le nombre de joueurs qui ont obtenu au moins un 6 est d'environ 17%, comme indiqué ci-dessus, alors retirons ces 17 joueurs du jeu. Maintenant seulement 83 joueurs rester. Une fois qu'ils roulent tous une deuxième fois, nous nous attendons à ce que 16.66% supplémentaires de ces joueurs aient obtenu un 6 - mais, maintenant qu'il y a moins de joueurs, le nombre que nous devons supprimer est également plus petit, à seulement environ 13. De même à le troisième lancer, nous nous attendons à ce que 11 ou 12 nouveaux joueurs tirent un 6, au quatrième lancer seulement 9, 7 au cinquième lancer, et ainsi de suite. Tandis que le la totalité de votre cycle de coaching doit être payée avant votre dernière session. nombre de joueurs qui ont obtenu au moins un six des augmentations chaque tour, totalisant 56.5 % au tour 5, le nombre de Neuf (ve) joueurs rejoignant ce groupe à chaque tour diminue de façon exponentielle.





Plus précisément, la probabilité d'obtenir un 6 au moins une fois sur x lancers est de 1 moins la probabilité de ne pas obtenir un 6 du tout :

De .

Fonction de probabilité cumulative

Pour exprimer mathématiquement ce phénomène, on peut utiliser la formule suivante :[1]

De est Probabilité cumulative qu'un événement s'est déjà produit, est taux auquel cet événement se produit, et est le nombre de Rouleaux qui se sont produits jusqu'à présent. Les jets négatifs n'ont pas de sens par définition, donc la fonction de probabilité y est toujours nulle.

Afin de donner un sens à cette formule, il est utile de la réorganiser. La plupart du temps, ce qui nous intéresse, c'est de savoir quelle valeur donne une probabilité cumulative particulière. Ceci est utile dans la mesure où il nous indique combien de jets sont nécessaires avant qu'un événement soit susceptible de se produire. Nous pouvons vouloir savoir combien de rouleaux avant qu'il n'atteigne 50 %, 90 % ou 99 %, ou toute autre valeur arbitraire. La formule peut être réorganisée comme suit pour nous donner ce résultat :

est le nombre de rouleaux nécessaires pour atteindre , qui peut être considéré comme un niveau de certitude qu'un événement se sera déjà produit au moins une fois, exprimé en fraction de 1. Ainsi, pour un valeur de 0.5, vous vous attendriez à ce que si 100 personnes « lançaient un dé » nombre de fois, 50 d'entre eux auraient rencontré le résultat qui vous intéresse (celui avec probabilité ) au moins une fois. Par exemple, le nombre de lancers requis pour obtenir une certaine chance cumulative (certains étant donnés valeur) en lançant « un » sur quelques tailles de dés courantes, telles que trouvées en utilisant cette formule, sont les suivantes :



Nombre de lancers nécessaires pour obtenir une probabilité cumulée donnée sur plusieurs tailles de dés différentes
Type de dés 50 %

Chances cumulées

(y = 0.5)

90 %

Chances cumulées

(y = 0.9)

99 %

Chances cumulées

(y = 0.99)

Graphique
dés à 6 faces 4.16 13.82 27.63

5 courbes, une pour chaque dé, montrant leur probabilité cumulée au fur et à mesure que le nombre de lancers augmente

dés à 8 faces 5.54 18.42 36.84
dés à 10 faces 6.93 23.03 46.05
dés à 20 faces 13.86 46.05 92.10
dés à 100 faces 69.31 230.26 460.52

Exemples dans Genshin Impact

Système de souhaits

Le système de souhaits de Genshin Impact est une série d'événements aléatoires, composés de nombreux résultats qui ont chacun une probabilité unique de se produire à chaque fois qu'un souhait est formulé. Cela signifie que nous pouvons appliquer le modèle mathématique développé ci-dessus pour déterminer des valeurs intéressantes, telles que le nombre de souhaits qu'il faudrait avant que 50% des joueurs aient obtenu un résultat donné. Pour ce faire, décomposons d'abord ce qui se passe chaque fois qu'un vœu est fait. Tout d'abord, la rareté du souhait est déterminée : 5*, 4* ou 3*. Une fois la rareté déterminée, l'un des objets de la table de butin spécifiée est sélectionné et cet objet est le résultat final du souhait. Pour déterminer le taux d'un élément spécifique dans un tableau, il suffit de diviser le taux auquel le tableau apparaît par le nombre d'éléments dans ce tableau. Pour un traitement plus détaillé des tarifs des objets dans des niveaux de rareté spécifiques dans toutes les différentes bannières de souhaits, consultez la page sur les probabilités de souhaits étendues.



Révision

(Souhait standard)

Taux de base

(N'importe quel personnage ou arme)

Taille de la piscine Tarif des objets uniques

(Personnage ou arme spécifique)

Personnage 5 étoiles 0.3 % 5 0.04 %
Arme 5 étoiles 0.3 % 10 0.02 %
Personnage 4 étoiles 2.6 % 18 0.14 %
Arme 4 étoiles 2.6 % 18 0.14 %
Arme 3 étoiles 94.3 % 13 7.254 %

En utilisant ces taux, nous pouvons alors déterminer combien de rouleaux sont nécessaires pour atteindre une certaine probabilité cumulée d'avoir acquis un certain article au moins une fois.

Intégrer les taux de pitié

Cependant, les tarifs de base pour les articles quatre étoiles et cinq étoiles ne disent pas tout. Les taux de pitié, ou garanties, peuvent affecter considérablement le calcul. Essentiellement, ils font la fonction de probabilité cumulative discontinu en changeant le taux auquel les objets apparaissent périodiquement, tant qu'aucun objet du niveau spécifié n'a été invoqué après suffisamment de jets. Il existe plusieurs façons de compenser cela. Dans le jeu, un second taux - appelé le Taux moyen, y compris les garanties, s'affiche à côté du taux de base. On pourrait remplacer le taux de base par ce taux moyen ajusté, et les résultats seraient plus précis. L'approche la plus précise serait d'utiliser le taux de base, mais de segmenter la fonction aux intervalles auxquels les taux de pitié se produisent. Cependant, cela a pour résultat indésirable de nécessiter plus de calculs et de créer une fonction discontinue. Il perd également une certaine précision lorsque vous travaillez avec des probabilités de sous-catégorie, car une partie des joueurs qui atteignent le seuil du taux de pitié auront déjà invoqué un objet du niveau souhaité, ce qui fera reposer le compteur de pitié, mais pas l'objet souhaité; et, il n'est pas trivial d'ajouter ensuite des étapes de pitié discontinues à chaque lancer suivant pour estimer quand le compteur a pu être réinitialisé. Par conséquent, une solution analytique pure n'est pas possible - vous ne pouvez calculer qu'une limite supérieure ou inférieure approximative de manière analytique.

Le résultat le plus souhaitable serait une simulation informatique complète qui pourrait ensuite être comparée aux différentes méthodes analytiques.

Personnages de l'événement

Personnage d'événement promotionnel 5 étoiles

Les chances d'avoir déjà invoqué le personnage bannière 5*. Notez que cette solution analytique suppose que tous ceux qui reçoivent une invocation de pitié la reçoivent à la 90e ou à la 180e invocation, ce qui peut ne pas être vrai en pratique.

Pour un personnage d'événement 5 étoiles promotionnel, le taux de base est de 0.3 % (taux de base cinq étoiles divisé par deux, car il y a 50 % de chances d'invoquer le personnage d'événement 5 étoiles à chaque fois qu'une invocation 5 étoiles se produit). Il existe également un mécanisme de pitié en place, de sorte que si une invocation 5 étoiles ne s'est pas produite dans les 89 invocations, l'invocation suivante est garantie d'être une invocation 5 étoiles. Combinés, ces deux mécanismes de pitié garantissent qu'au plus 180 vœux sont nécessaires pour invoquer un personnage promotionnel 5 étoiles. Une solution analytique qui ignore le premier mécanisme de pitié (la garantie) peut être vue dans le graphique suivant.

La raison pour laquelle cette solution analytique ignore la garantie, c'est qu'elle modifie la vitesse à laquelle les événements se produisent (de 0.3 % du temps, la moitié de tous les tirages 5*, à 0.6 % du temps, 100 % de tous les tirages 5*). La manière dont cela affecte le rythme auquel les événements se produisent en pratique n'est pas anodine : il est évident qu'au premier lancer, le taux sera de 0.3% pour tout le monde, et qu'au 90e le taux sera de 0.6% pour tous les joueurs restants. Cependant, pour déterminer comment le taux moyen change au cours des 89 premiers rouleaux, il faudrait résoudre une équation différentielle. Cependant, nous pouvons l'éviter complètement et obtenir un résultat plus précis en effectuant une simulation.

Comme cela a été expliqué, la mécanique de la pitié rend très difficile la recherche d'une solution analytique significative à notre problème. Pour surmonter cela, nous pouvons effectuer une simulation d'un grand nombre de rouleaux, et analyser les résultats de manière empirique, ou les comparer à notre solution analytique. Parce que le nombre renvoyé par la fonction de probabilité cumulative représente le pourcentage d'une population donnée qui, selon nous, aura connu un résultat au moins une fois après nombre de lancers, nous pouvons simuler les résultats de cette fonction en prenant une grande "population" d'individus simulés, et en roulant avec chacun jusqu'à ce qu'ils atteignent le résultat souhaité ou le nombre maximum de lancers. Nous ajoutons ensuite le nombre de personnes qui ont atteint le résultat à une étape donnée à celles qui ont déjà atteint le résultat, créant une courbe qui montre quand chaque membre de notre population a atteint le résultat souhaité. Ci-dessous, vous pouvez voir les courbes respectives de deux de ces simulations, l'une avec dix mille individus simulés, l'autre avec cent.

Cette simulation contenait 10 000 "individus". Chacun a lancé des nombres aléatoires jusqu'à ce qu'il obtienne le personnage de bannière 5*, en tenant compte à la fois de la garantie que le deuxième 5* tiré sera le personnage de bannière et de la règle de pitié des 90 rouleaux.Ce graphique montre les mêmes informations, mais pour dix passages de seulement 100 individus simulés. Ici, les courbes sont visiblement irrégulières et chacune est sensiblement différente de la précédente, car la nature aléatoire de la simulation n'a pas été "étalée" sur autant d'échantillons.

Le gros point à retenir de ces simulations est le suivant :

  • La solution analytique est la plupart du temps sous-estimée, montrant près de 30% de la population atteignant le deuxième pitié, tandis que les simulations montrent que seulement environ 20% des individus simulés atteindront le 180e souhait/rouleau sans avoir reçu le caractère de bannière 5* au moins une fois. Cela se produit principalement parce que nous ne tenons pas compte de la variation du taux, de 0.3 % à 0.6 %.
  • La solution analytique montre qu'une plus grande partie de la population reçoit sa pitié au 90e rouleau (près de 60 %) qu'elle ne le fait réellement (près de 55 % dans les simulations). C'est le seul cas de surestimation dans la solution analytique, et cela se produit parce que nous ne tenons pas compte des personnes qui peuvent avoir reçu un 5* (mais pas le personnage de bannière) à un moment donné entre le 1er et le 90e lancer, et ne sont donc pas éligibles à la pitié sur le 90e rouleau. Vous verrez cependant que la courbe des simulations augmente beaucoup plus rapidement après le 90e rouleau, car ces individus reçoivent leur propre pitié un peu plus tard que tout le monde.
  • Même dans un environnement de simulation, il existe encore de gros pics aux 90e et 180e souhaits. C'est parce que de grandes parties de la population simulée déclenchent le mécanisme de pitié ; la pitié, qui se déclenche après 90 vœux infructueux, se produit lorsque nous nous attendons à ce que seulement environ 30% de la population ait invoqué un 5 *. Cela signifie que lorsqu'un joueur va jusqu'à la pitié, il n'est pas "malchanceux" si l'on définit être chanceux comme atteindre le résultat souhaité avant 50% des autres participants d'une population donnée. Environ les deux tiers des joueurs atteindront toujours la pitié. C'est ce qui fait le Taux moyen, y compris les garanties, trompeur. Bien que ce taux soit la moyenne sur un grand nombre de lancers, si vous mettez en place une règle d'arrêt (un joueur arrête de rouler après avoir obtenu l'objet désiré), le taux réel est toujours inférieur (car, à moins que vous ne terminiez sur un lancer de pitié, il y aura ayez toujours de la pitié que vous n'ayez pas atteint).
  • Notamment, environ 20 % de la population ne recevra pas le personnage de bannière 5* avant le 180e lancer. Cela signifie que si vous vous engagez à rouler jusqu'à ce que vous obteniez un certain personnage de bannière, vous avez une chance sur cinq d'"aller jusqu'au bout" à la seconde pitié. De même, il y a environ une chance sur cinq que vous tiriez le personnage entre les rouleaux 1 et 89 ; et des trois cinquièmes restants du temps, vous tirerez le personnage soit sur le premier pitié, soit entre les rouleaux 91 et 179, répartis à peu près également.
Personnage d'événement promotionnel 4 étoiles

Résoudre les densités de probabilité pour les caractères 4 étoiles est, en général, plus compliqué que les caractères 5 étoiles. En effet, le pool de personnages est plus grand, il y a toujours des armes dans le pool et il n'y a aucune garantie d'obtenir un personnage 4 étoiles particulier. Cependant, afin de résoudre la probabilité cumulée d'obtenir au moins l'un de n'importe quel caractère d'événement 4 étoiles, le processus est le même que pour le caractère d'événement 5 étoiles, mais avec des taux différents dans les formules. Ainsi, cette information est relativement facile à obtenir (il suffit de répéter les étapes ci-dessus). Pour les personnages 4 étoiles, nous sommes également plus susceptibles d'être intéressés par le nombre d'entre eux que nous sommes susceptibles d'obtenir sur un certain nombre de souhaits, généralement 90 ou 180 ; car, dans le cadre de l'obtention d'un personnage 5*, ce sont des récompenses bonus. Nous examinerons donc également ce problème.

Tout personnage d'événement 4 étoiles

Il s'agit d'une simulation, avec n=10 000, d'individus roulant sur la bannière de l'événement ayant reçu au moins un caractère de bannière 4*.

Si nous ne sommes pas préoccupés par l'obtention d'un personnage 4 étoiles particulier, le calcul est beaucoup plus simple. Si on s'intéresse au nombre de vœux qu'il faudra pour obtenir au moins un personnage 4 étoiles, les formules sont les mêmes que pour le personnage 5 étoiles, mais les tarifs sont légèrement différents. À droite se trouve un graphique d'une simulation avec 10 000 individus, avec les taux et le compteur de pitié ajustés pour refléter les personnages 4 étoiles.

Comme prévu, la courbe est très similaire à la courbe du personnage d'événement 5 étoiles, mais sur un nombre de souhaits beaucoup plus petit. Les seuils de pitié se produisent à des pourcentages de population très similaires, cependant, ce qui n'est pas un résultat trivial; cela indique que les taux et les décomptes de pitié ont été choisis intentionnellement pour être coupés au même pourcentage attendu de la population (environ 30 %) pour les éléments 5 étoiles et 4 étoiles.

Un personnage d'événement 4 étoiles particulier

Personnages Wanderlust

Armes d'événement

Boss et domaines

Propriétés de la fonction de probabilité cumulative

Convergence indépendante du débit

La chance et l'erreur du joueur

Relation avec la monétisation

  1. ↑ https://en.web pagepedia.org/web page/Cumulative_distribution_function#Examples
Nombre de lancers nécessaires pour obtenir une probabilité cumulée donnée sur plusieurs tailles de dés différentes Type de dés 50 %

Chances cumulées

(y = 0.5)

90 %

Chances cumulées

(y = 0.9)

99 %

Chances cumulées

(y = 0.99)

Graphique Dés à 6 faces 4.16 13.82 27.63

5 courbes, une pour chaque dé, montrant leur probabilité cumulée au fur et à mesure que le nombre de lancers augmente

8-sided dice 5.54 18.42 36.84 10-sided dice 6.93 23.03 46.05 20-sided dice 13.86 46.05 92.10 100-sided dice 69.31 230.26 460.52
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